Ho comprato del bismuto. Questi sono i due pezzi, fotografati sulla scrivania: superfici irregolari, zone argentate e scure e qualche riflesso colorato.
Il bismuto che ho comprato.
Da questi pezzi nasce una domanda pratica: se il bismuto respinge il campo magnetico, si può sagomare per convogliarlo in un punto o lungo un percorso? Per valutarla bisogna distinguere la risposta del materiale dalla geometria del dispositivo.
Che cosa significa respingere il campo
Il bismuto è diamagnetico: un campo applicato induce una magnetizzazione in verso opposto. Nel modello lineare si scrive M = χ H, con suscettività χ negativa, e B = μ₀(H + M). Il materiale modifica il campo dentro e intorno a sé; la distribuzione dipende dalla forma. Le dimostrazioni della University of California, Santa Barbara spiegano questa risposta e il confronto con materiali para- e ferromagnetici.
Il comportamento è particolarmente marcato per un metallo ordinario, ma resta debole in valore assoluto. La spiegazione microscopica coinvolge la struttura elettronica a bande: Buot e McClure, Theory of Diamagnetism of Bismuth, riconducono il grande contributo diamagnetico del bismuto a effetti interbanda. L’immagine di piccole correnti elettroniche che si oppongono al campo aiuta l’intuizione, ma non sostituisce il modello quantistico.
Quanto è forte l’effetto
Un valore indicativo della suscettività volumetrica in unità SI, a temperatura ambiente, è:
χᵥ ≈ −1,7 × 10⁻⁴
Di conseguenza, nel modello isotropo:
μᵣ = 1 + χᵥ ≈ 0,99983
Questo valore è riportato anche da Simon, Heflinger e Geim, Diamagnetically stabilized magnet levitation. La permeabilità del bismuto differisce da quella del vuoto di circa 0,017%. Non è una percentuale universale di campo schermato: il risultato effettivo dipende da geometria, posizione e direzione di misura.
Occorre distinguere la suscettività volumetrica da quella massica o molare, e le unità SI da quelle cgs. Inoltre i singoli cristalli sono anisotropi: la risposta cambia con la direzione rispetto agli assi cristallini, come documentano le misure di Focke sui cristalli di bismuto. Nei conti seguenti uso un valore scalare rappresentativo, non una caratterizzazione dei pezzi della foto.
L’esclusione quasi completa del campo dall’interno di un superconduttore nel regime di Meissner, entro i suoi limiti di temperatura e campo, è un caso molto diverso. Nel limite ideale si modella con μᵣ → 0. I pezzi di bismuto sul banco, a temperatura ambiente, hanno invece una permeabilità vicinissima a uno.
Repulsione e levitazione
Per un piccolo campione debolmente diamagnetico e isotropo, in un campo non uniforme, una stima della forza è:
F ≈ [χᵥ V / (2 μ₀)] ∇(B²)
Qui V è il volume e B il campo esterno senza il campione; la stima trascura la piccola perturbazione del campo prodotta dal campione stesso.
Essendo χᵥ < 0, la forza tende verso le zone dove B² è minore. Per la traslazione conta quindi il gradiente del campo. Una piccola risposta può comunque bastare per stabilizzare un magnete leggero: negli apparati descritti da Harvard, un magnete di sollevamento fornisce il sostegno principale e le lastre diamagnetiche contribuiscono alla stabilità. Vedere levitare un piccolo magnete non implica che una parete di bismuto blocchi quasi tutto il campo.
Un esempio numerico: la sfera
Per mettere l’effetto in scala considero una sfera omogenea, lineare e isotropa, di raggio a, immersa in un campo uniforme B₀ = 0,1 T, cioè 100.000 µT. È un calcolo ideale, distinto da una misura sui miei pezzi o da un progetto di convogliatore.
Dalla soluzione magnetostatica della sfera, trattata nelle dispense della University of Nebraska–Lincoln, equazione 6.73, si ricava il fattore q = (μᵣ − 1)/(μᵣ + 2). All’esterno, lungo l’asse del campo, la variazione relativa è 2q(a/r)³; nel piano equatoriale è −q(a/r)³.
Con μᵣ = 0,99983, sulla superficie, presa dal lato esterno:
- Sull’asse: il campo diminuisce di circa 11,3 µT.
- All’equatore: il campo aumenta di circa 5,7 µT, ossia 0,0057% del campo applicato.
- A distanza dal centro pari a due raggi, entrambe le variazioni sono già otto volte più piccole.
Calcolo analitico con χᵥ = −0,00017. Il grafico mostra la variazione rispetto a 100.000 µT, non il campo totale. Non rappresenta misure sperimentali.
La redistribuzione esiste: il campo può aumentare localmente di fianco al materiale. In questo esempio l’aumento è però molto piccolo. La sfera dà un riferimento quantitativo; il campo di un magnete vicino a blocchetti irregolari richiede un calcolo della geometria reale.
Le linee di campo attraversano il bismuto
La stessa soluzione permette di calcolare il campo dentro la sfera: B_interno / B₀ = 3μᵣ / (μᵣ + 2). Con il valore usato sopra resta circa il 99,9887% del campo applicato, cioè 99.988,7 µT su 100.000 µT. Questa percentuale vale per la sfera del modello; non descrive qualsiasi forma di schermo.
Stessa geometria e scala nei due pannelli. Nel bismuto la deviazione non è ingrandita; il secondo pannello mostra il limite ideale μᵣ → 0. Soluzione analitica di una sfera isotropa, non misure o simulazioni di un imbuto.
Le linee rappresentano la direzione del campo in una sezione meridiana; la loro spaziatura sul foglio non va letta come una misura della sua intensità tridimensionale. Il confronto rende visibile il problema del convogliatore: le pareti di bismuto lascerebbero attraversare quasi tutto il campo, mentre un materiale che lo esclude fortemente costringe le linee ad aggirarlo.
L’ipotesi del convogliatore
L’idea è costruire pareti o un imbuto diamagnetico, lasciando un passaggio in cui concentrare il campo. Il limite principale è il contrasto di permeabilità: per il bismuto è minimo rispetto all’aria. Gran parte del campo attraversa anche le pareti; una forma a imbuto non impone al flusso di percorrere il canale.
Da questi valori deduco che un convogliatore realizzato soltanto in bismuto, a temperatura ambiente, sia poco promettente per ottenere una forte concentrazione. Una piccola modifica locale resta possibile e misurabile con una geometria e uno strumento adeguati. Per stimarne l’entità serve usare μᵣ ≈ 0,99983 nel modello: impostare per errore μᵣ = 0 significherebbe studiare un materiale completamente diverso.
È utile distinguere tre approcci:
- Pareti di bismuto. Producono una debole risposta opposta al campo. La permeabilità è troppo vicina a quella dell’aria per un forte confinamento.
- Poli in ferro dolce o ferrite. Offrono un percorso ad alta permeabilità e concentrano il flusso in un traferro. I limiti principali sono dispersioni, dimensione del traferro e saturazione del materiale.
- Struttura ibrida ferromagnetica e superconduttrice. Combina la guida del campo con una forte esclusione in altre direzioni. Richiede una realizzazione specifica e le condizioni criogeniche del superconduttore.
I concentratori ad alta permeabilità hanno riscontri sperimentali: Fescenko e collaboratori hanno ottenuto un aumento del campo di circa 250 volte nel sensore posto fra due coni di ferrite. È un risultato per deboli campi e una specifica geometria con traferro molto piccolo, non un fattore da applicare a qualsiasi magnete o pezzo di ferro.
Per il trasporto lungo un percorso, Navau e collaboratori, Long-Distance Transfer and Routing of Static Magnetic Fields, hanno dimostrato un magnetic hose: una struttura ibrida ferromagnetica e superconduttrice. Il modello ideale richiede una risposta fortemente diversa lungo e attraverso il tubo. Dal confronto con il bismuto, le cui permeabilità nelle diverse direzioni restano vicine a uno, deduco che non possa sostituire direttamente quel materiale ideale.
Una prova concreta da impostare
La prima domanda sperimentale sarebbe: due blocchetti di bismuto, separati da una fessura, aumentano in modo ripetibile il campo nella fessura? È una proposta di prova, non un risultato già ottenuto.
- Definire la geometria e il punto di misura. Fissare sorgente, sonda e supporti; registrare distanze e orientamento dei campioni. Misurare la stessa componente del campo con e senza bismuto.
- Calcolare prima l’effetto atteso. Usare un modello magnetostatico della geometria reale e confrontarlo con il caso senza campioni. Affinare la discretizzazione finché la piccola differenza risulta stabile. La sfera precedente serve come controllo analitico del metodo.
- Scegliere la misura dall’effetto previsto. Servono risoluzione, ripetibilità e deriva adeguate; il fondo scala della sonda deve comprendere il campo applicato. Un valore assoluto grande può nascondere una differenza di pochi microtesla.
- Ripetere con controlli. Alternare inserimento e rimozione, usare un supporto non magnetico equivalente e confrontare anche una geometria ferromagnetica. Rilevare il campo sia nella fessura sia intorno ai blocchi.
- Riportare variazione e incertezza. Registrare
ΔB = B_con − B_senza, dispersione delle ripetizioni e sensibilità agli spostamenti. Una differenza confrontabile con l’errore di posizionamento non dimostra un guadagno.
Per capire la difficoltà: con un gradiente ipotetico di 10 T/m, uno spostamento di appena 1 µm cambia la lettura di 10 µT. È un esempio di calcolo, ma mostra perché il fissaggio meccanico può contare quanto la risoluzione elettronica.
Separare il diamagnetismo dalle correnti indotte
Il bismuto conduce elettricità. Muovendo un magnete o variando il campo si possono generare correnti parassite, con effetti di frenatura e schermatura transitoria. In un conduttore a resistenza finita questi transitori decadono: il MIT tratta questo processo come diffusione del campo nei conduttori.
Per studiare il diamagnetismo statico occorre quindi lasciare fermi campione, magnete e sonda e attendere l’assestamento. Un effetto evidente durante il movimento, da solo, non misura la capacità del materiale di convogliare un campo statico.
Il percorso proposto è questo: usare il bismuto per una misura della piccola redistribuzione del campo e confrontarlo con un concentratore ferromagnetico. L’eventuale passaggio a strutture ibride richiederebbe un progetto diverso, con materiali e condizioni di funzionamento specifici.